a049-3.6

Un risultato proposto da Srinivasa Ramanujan è il seguente.

\( S_3=1+2+3+4+... = -\frac{1}{12}\)

Vediamo come può essere giustificato.

Consideriamo prima la serie \( S_1\)

\( S_1=1-1+1-1+1-1+...= 1-(1-1+1-1+...)=1-S_1\)

quindi \(S_1=\frac{1}{2} \)

Ora consideriamo la serie \(S_2\)

\(S_2=1-2+3-4+5-... =\frac{1}{4}\), infatti:

\(\begin{array}{ccccccccc} 
2S_2&=&1&-2&+3&-4&+5&-6&...+\\
 & & &1&-2&+3&-4&+5&-6...=S_1=\frac{1}{2}
\end{array}\)

Per concludere:

\( -3S_3=S_3-4S_3= \)
\(\begin{array}{cccccc} 
=1&+2&+3&+4&+...&  \\
 &-4& &-8&+...&  &-12...=
\end{array}\)
\(=1-2+3-4+...=S_2\)

Quindi \( S_3=-\frac{1}{12}\)